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Calculadora de Probabilidad - Gratis en Linea

La Calculadora de Probabilidad le ayuda a determinar la probabilidad de eventos. Calcule probabilidades de eventos individuales, probabilidades complementarias y probabilidades combinadas usando reglas de union e interseccion.

Ingrese el numero de resultados favorables y el total de resultados posibles para encontrar la probabilidad. La calculadora muestra resultados como fracciones, decimales y porcentajes.

Result
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Como usar la Calculadora de Probabilidad

  1. Seleccione un modo de calculo usando los botones en la parte superior. "Puntuacion Z desde valor" calcula el Z-score cuando conoce el valor, la media y la desviacion estandar.
  2. "Valor desde Z" realiza el calculo inverso. Ingrese un Z-score conocido junto con la media y la desviacion estandar para encontrar el valor original.
  3. "Probabilidad desde Z" toma un Z-score y devuelve tres probabilidades: la probabilidad de cola izquierda P(Z < z), la de cola derecha P(Z > z), y la probabilidad bilateral P(-|z| < Z < |z|).
  4. Ingrese sus valores en los campos. Los resultados se actualizan al instante mientras escribe.
  5. Revise el procedimiento paso a paso debajo de los resultados. Cada calculo se desglosa en pasos numerados con formula, sustitucion y resultado final.
  6. La curva de campana interactiva sombrea el area correspondiente a su Z-score. Use el boton de compartir para copiar un enlace permanente a su calculo.

Formula y Teoria

Una puntuacion Z (tambien llamada valor estandarizado o z-score) mide cuantas desviaciones estandar un dato particular esta por encima o debajo de la media de su distribucion. La formula es z = (x - mu) / sigma, donde x es el valor observado, mu es la media poblacional y sigma la desviacion estandar poblacional. Un Z de 2.0, por ejemplo, indica que el valor esta exactamente dos desviaciones estandar por encima de la media. Las puntuaciones Z son adimensionales, lo que significa que eliminan las unidades originales y colocan cada medicion en la misma escala universal.

La distribucion normal estandar es la distribucion de probabilidad con media 0 y desviacion estandar 1. Cuando convierte un valor en una puntuacion Z, esta transformando la distribucion original en la normal estandar. Esta transformacion preserva la forma pero recentra en cero y reescala para que la dispersion sea uno. La curva normal estandar es simetrica alrededor de z = 0, y su area total bajo la curva es 1.

La formula Z puede reorganizarse segun lo que necesite encontrar. Para hallar el valor desde un Z-score, use x = mu + z * sigma. La puntuacion Z inversa (encontrar z desde una probabilidad acumulada) usa la inversa de la funcion de distribucion acumulada, tambien llamada funcion cuantil o funcion probit. Por ejemplo, la CDF inversa de 0.975 da z = 1.96.

La regla 68-95-99.7 (tambien conocida como regla empirica o regla de tres sigma) resume como se distribuyen los datos en una distribucion normal. Aproximadamente el 68.27% de todos los valores caen dentro de una desviacion estandar de la media. Aproximadamente el 95.45% dentro de dos desviaciones estandar. Aproximadamente el 99.73% dentro de tres. Valores mas alla de tres desviaciones estandar son extremadamente raros y a menudo se clasifican como atipicos.

Una tabla Z (tambien llamada tabla normal estandar) lista la probabilidad acumulada P(Z < z) para un rango de valores Z. Para leer la tabla, encuentre la fila que corresponde a los dos primeros digitos de su Z-score y la columna que corresponde al digito de centesimas. La interseccion da la probabilidad de cola izquierda. Para probabilidades de cola derecha, reste el valor de la tabla de 1. Esta calculadora elimina la necesidad de tablas impresas.

Las puntuaciones Z se usan ampliamente en muchos campos. En educacion, las puntuaciones de examenes estandarizados como SAT e IQ se reportan usando transformaciones Z. En salud, las curvas de crecimiento infantil usan Z-scores. En finanzas, las puntuaciones Z sustentan los calculos de Valor en Riesgo (VaR). En manufactura y control de calidad, las puntuaciones Z impulsan los programas Six Sigma.

La relacion entre puntuaciones Z y valores p es central para las pruebas de hipotesis en estadistica. Para una prueba bilateral al nivel de significancia del 5%, los Z-scores criticos son -1.96 y +1.96. Si el Z calculado cae fuera de este rango, se rechaza la hipotesis nula con 95% de confianza. Las puntuaciones Z tambien se conectan directamente con los intervalos de confianza: un intervalo de confianza del 95% usa z = 1.96.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Percentil del SAT

Problema: Un estudiante obtuvo 1200 en el SAT. La media nacional es 1060 y la desviacion estandar 195. En que percentil esta?

Solucion: z = (1200-1060)/195 = 0.7179. P(Z < 0.72) = 0.7642.

Respuesta: El estudiante esta en el percentil 76, puntuando mejor que el 76.4% de los participantes.

Ejemplo 2: Control de calidad: peso de pieza

Problema: Una fabrica produce piezas con peso objetivo 5.00 g y desviacion estandar 0.01 g. Una pieza pesa 5.02 g.

Solucion: z = (5.02-5.00)/0.01 = 2.0. P(Z > 2) = 0.0228.

Respuesta: z = 2.0. Solo el 2.28% de las piezas serian tan pesadas o mas.

Ejemplo 3: Interpretacion del CI

Problema: Los CI tienen media 100 y desviacion estandar 15. Que Z-score corresponde a un CI de 130?

Solucion: z = (130-100)/15 = 2.0. P(Z < 2.0) = 0.9772.

Respuesta: z = 2.0. Un CI de 130 esta en el percentil 97.7.

Ejemplo 4: Comparar puntuaciones de distintos examenes

Problema: Alice obtuvo 78 en Examen A (media 72, DE 6). Bob obtuvo 85 en Examen B (media 80, DE 4). Quien rindio mejor?

Solucion: Alice: z = (78-72)/6 = 1.0. Bob: z = (85-80)/4 = 1.25.

Respuesta: Bob rindio mejor relativamente, con z = 1.25 frente a z = 1.0 de Alice.

Ejemplo 5: Probabilidad entre dos Z-scores

Problema: Que proporcion de una distribucion normal estandar cae entre z = -1.5 y z = 2.0?

Solucion: P(-1.5 < Z < 2.0) = 0.9772 - 0.0668 = 0.9104.

Respuesta: Aproximadamente el 91.04% de los valores caen entre z = -1.5 y z = 2.0.

Ejemplo 6: Valor en el percentil 95

Problema: Alturas de hombres adultos: mu = 175 cm, sigma = 7 cm. Que altura marca el percentil 95?

Solucion: z = 1.645. x = 175 + 1.645*7 = 186.515 cm.

Respuesta: El percentil 95 es aproximadamente 186.5 cm. Solo el 5% son mas altos.

Ejemplo 7: Prueba de hipotesis bilateral

Problema: Media muestral 52.4 con mu = 50, sigma = 5 (n = 25). Es significativo al 5%?

Solucion: Error estandar = 5/5 = 1.0. z = (52.4-50)/1.0 = 2.4. Critico: +/- 1.96.

Respuesta: z = 2.4. El resultado es estadisticamente significativo al nivel del 5% (p = 0.0164).

Ejemplo 8: Finanzas: rendimiento de acciones

Problema: Una accion tiene rendimiento diario promedio de 0.05% con DE 1.2%. Hoy cayo 3.5%.

Solucion: z = (-3.5-0.05)/1.2 = -2.958. P(Z < -2.96) = 0.0015.

Respuesta: z = -2.96. Una caida asi ocurriria solo el 0.15% de los dias de trading.

Ejemplo 9: Medicina: presion arterial

Problema: Presion sistolica de un paciente: 150 mmHg. Media del grupo etario: 120 mmHg, DE: 12 mmHg.

Solucion: z = (150-120)/12 = 2.5. P(Z > 2.5) = 0.0062.

Respuesta: z = 2.5. Solo el 0.62% de la poblacion en este grupo etario tendria un valor tan alto.

Ejemplo 10: Z-score negativo: bajo el promedio

Problema: Un estudiante obtuvo 55 en un examen con media 68 y DE 8. Que proporcion puntuo mejor?

Solucion: z = (55-68)/8 = -1.625. P(Z > -1.625) = 0.9479.

Respuesta: z = -1.625. Aproximadamente el 94.8% de los estudiantes puntuaron mejor.

Preguntas Frecuentes

Que es una puntuacion Z?
Una puntuacion Z (valor estandarizado) indica cuantas desviaciones estandar un dato esta de la media. Z = 0 significa que el valor es igual a la media. Valores Z positivos estan sobre la media, negativos debajo.
Como se calcula una puntuacion Z?
Use la formula z = (x - mu) / sigma. Reste la media de su valor y divida entre la desviacion estandar. Ejemplo: puntuacion 85, media 70, DE 10 da z = (85-70)/10 = 1.5.
Que significa un Z-score de 1.96?
Un Z de 1.96 significa 1.96 desviaciones estandar sobre la media. El 97.5% de los valores caen por debajo de z = 1.96. Es el valor critico para una prueba bilateral al 5% y se usa en intervalos de confianza del 95%.
Que es una buena puntuacion Z?
No hay un Z universalmente bueno. Z entre -2 y +2 se consideran tipicos (95% de la distribucion normal). En examenes, un Z positivo es sobre el promedio. En control de calidad, Z cercano a 0 es ideal.
Puede ser negativa una puntuacion Z?
Si. Un Z negativo simplemente significa que el dato esta bajo la media. z = -1.5 indica 1.5 desviaciones estandar bajo la media.
Que es la regla 68-95-99.7?
La regla 68-95-99.7 (regla empirica) establece que en una distribucion normal, aproximadamente el 68% de los datos caen dentro de 1 desviacion estandar, el 95% dentro de 2 y el 99.7% dentro de 3 desviaciones estandar de la media.
Como se convierte un Z-score a percentil?
El percentil es la probabilidad acumulada P(Z < z) multiplicada por 100. Ejemplo: z = 1.0 da P(Z < 1.0) = 0.8413, o sea el percentil 84.13.
Cual es la diferencia entre Z-score y t-score?
Ambos miden la distancia desde la media en unidades de desviacion estandar. El Z-score usa la desviacion estandar poblacional conocida. El t-score usa la desviacion estandar muestral y sigue la distribucion t, con colas mas pesadas. Con muestras grandes (n > 30), ambos son casi identicos.
Como se usan los Z-scores en la vida real?
En educacion para examenes estandarizados (SAT, CI). En salud para curvas de crecimiento infantil. En finanzas para Valor en Riesgo (VaR). En manufactura para control de calidad Six Sigma. En investigacion para pruebas de hipotesis e intervalos de confianza.
Que Z-score es estadisticamente significativo?
Para una prueba bilateral al 5%: Z mas alla de +/- 1.96. Unilateral al 5%: z = 1.645. Al 1% bilateral: +/- 2.576.
Como se lee una tabla Z?
Las filas muestran el Z hasta un decimal (ej. 1.9), las columnas el digito de centesimas (ej. 0.06). La interseccion da P(Z < 1.96) = 0.9750. Para probabilidad de cola derecha, reste de 1.
Cual es el Z-score para un intervalo de confianza del 95%?
Un intervalo de confianza del 95% usa z = 1.96. El 95% de la distribucion normal estandar cae entre z = -1.96 y z = +1.96, dejando 2.5% en cada cola. Para 99%: z = 2.576. Para 90%: z = 1.645.