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Wahrscheinlichkeitsrechner - Kostenlos Online

Der Wahrscheinlichkeitsrechner hilft Ihnen, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu bestimmen. Berechnen Sie Einzelwahrscheinlichkeiten, Komplementaerwahrscheinlichkeiten und kombinierte Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Vereinigungs- und Schnittmengenregeln.

Geben Sie die Anzahl der guenstigen Ergebnisse und die Gesamtzahl der moeglichen Ergebnisse ein, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Der Rechner zeigt Ergebnisse als Bruch, Dezimalzahl und Prozentwert an.

Result
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So verwenden Sie den Wahrscheinlichkeitsrechner

  1. Waehlen Sie den Berechnungsmodus oben im Rechner. "Z-Wert aus Rohwert" berechnet den Z-Score, wenn Sie den Datenwert, den Mittelwert und die Standardabweichung kennen.
  2. "Rohwert aus Z-Wert" fuehrt die umgekehrte Berechnung durch. Geben Sie einen bekannten Z-Wert zusammen mit Mittelwert und Standardabweichung ein, um den urspruenglichen Rohwert zu finden.
  3. "Wahrscheinlichkeit aus Z" nimmt einen Z-Wert und liefert drei Wahrscheinlichkeiten: die linke Schwanzwahrscheinlichkeit P(Z < z), die rechte Schwanzwahrscheinlichkeit P(Z > z) und die zweiseitige Wahrscheinlichkeit P(-|z| < Z < |z|).
  4. Geben Sie Ihre Werte in die Eingabefelder ein. Die Ergebnisse aktualisieren sich sofort beim Tippen.
  5. Ueberpruefen Sie den Schritt-fuer-Schritt-Loesungsweg unter den Ergebnissen. Jede Berechnung wird in nummerierte Schritte mit Formel, Einsetzen und Endergebnis aufgeschluesselt.
  6. Die interaktive Glockenkurve schattiert den Bereich entsprechend Ihrem Z-Wert. Verwenden Sie die Teilen-Funktion, um einen permanenten Link zu Ihrer Berechnung zu kopieren.

Formel und Theorie

Ein Z-Wert (auch Standardwert oder z-Score genannt) misst, wie viele Standardabweichungen ein bestimmter Datenpunkt ueber oder unter dem Mittelwert seiner Verteilung liegt. Die Z-Wert-Formel lautet z = (x - mu) / sigma, wobei x der beobachtete Wert, mu der Populationsmittelwert und sigma die Populationsstandardabweichung ist. Ein Z-Wert von 2.0 bedeutet beispielsweise, dass der Wert genau zwei Standardabweichungen ueber dem Mittelwert liegt. Z-Werte sind dimensionslos, das heisst, sie entfernen die urspruenglichen Einheiten und stellen jede Messung auf dieselbe universelle Skala.

Die Standardnormalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Wenn Sie einen Rohwert in einen Z-Wert umrechnen, transformieren Sie die urspruengliche Verteilung in die Standardnormalverteilung. Die Standardnormalkurve ist symmetrisch um z = 0, und ihre Gesamtflaeche unter der Kurve betraegt 1.

Die Z-Wert-Formel kann je nach Bedarf umgestellt werden. Um den Rohwert aus einem Z-Wert zu finden, verwenden Sie x = mu + z * sigma. Der inverse Z-Wert (z aus einer kumulativen Wahrscheinlichkeit finden) verwendet die Umkehrfunktion der kumulativen Verteilungsfunktion, auch Quantilfunktion oder Probit-Funktion genannt.

Die 68-95-99.7-Regel (auch empirische Regel oder Drei-Sigma-Regel genannt) fasst zusammen, wie Daten in einer Normalverteilung verteilt sind. Etwa 68.27% aller Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert. Etwa 95.45% liegen innerhalb zwei Standardabweichungen. Etwa 99.73% liegen innerhalb drei Standardabweichungen. Werte jenseits von drei Standardabweichungen sind extrem selten und werden oft als Ausreisser klassifiziert.

Eine Z-Wert-Tabelle (auch Standardnormaltabelle) listet die kumulative Wahrscheinlichkeit P(Z < z) fuer einen Bereich von Z-Werten auf. Um die Tabelle zu lesen, finden Sie die Zeile fuer die ersten beiden Ziffern Ihres Z-Werts und die Spalte fuer die Hundertstelstelle. Der Schnittpunkt gibt die linke Schwanzwahrscheinlichkeit an. Dieser Rechner macht gedruckte Tabellen ueberfluessig.

Z-Werte werden in vielen Bereichen eingesetzt. Im Bildungswesen werden standardisierte Testergebnisse wie SAT und IQ mittels Z-Score-Transformationen berichtet. Im Gesundheitswesen verwenden Wachstumskurven fuer Kinder Z-Werte. Im Finanzwesen liegen Z-Werte dem Value at Risk (VaR) zugrunde. In der Fertigung und Qualitaetskontrolle treiben Z-Werte Six-Sigma-Programme an.

Die Beziehung zwischen Z-Werten und p-Werten ist zentral fuer Hypothesentests in der Statistik. Bei einem zweiseitigen Test auf dem 5%-Signifikanzniveau sind die kritischen Z-Werte -1.96 und +1.96. Faellt der berechnete Z-Wert ausserhalb dieses Bereichs, wird die Nullhypothese mit 95% Konfidenz verworfen. Z-Werte verbinden sich auch direkt mit Konfidenzintervallen: ein 95%-Konfidenzintervall verwendet z = 1.96.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: SAT-Ergebnis Perzentil

Aufgabe: Ein Student erreichte 1200 beim SAT. Der nationale Mittelwert ist 1060 und die Standardabweichung 195. In welchem Perzentil liegt der Student?

Loesung: z = (1200 - 1060) / 195 = 0.7179. P(Z < 0.72) = 0.7642.

Antwort: Der Student liegt im 76. Perzentil und schnitt besser ab als etwa 76.4% der Testteilnehmer.

Beispiel 2: Qualitaetskontrolle: Bauteilgewicht

Aufgabe: Eine Fabrik produziert Bauteile mit Sollgewicht 5.00 g und Standardabweichung 0.01 g. Ein Bauteil wiegt 5.02 g.

Loesung: z = (5.02 - 5.00) / 0.01 = 2.0. P(Z > 2) = 0.0228.

Antwort: z = 2.0. Nur etwa 2.28% der Bauteile waeren so schwer oder schwerer.

Beispiel 3: IQ-Wert Interpretation

Aufgabe: IQ-Werte haben Mittelwert 100 und Standardabweichung 15. Welcher Z-Wert entspricht einem IQ von 130?

Loesung: z = (130 - 100) / 15 = 2.0. P(Z < 2.0) = 0.9772.

Antwort: z = 2.0. Ein IQ von 130 liegt am 97.7. Perzentil.

Beispiel 4: Vergleich verschiedener Pruefungen

Aufgabe: Alice erreichte 78 in Pruefung A (Mittelwert 72, SD 6). Bob erreichte 85 in Pruefung B (Mittelwert 80, SD 4). Wer schnitt relativ besser ab?

Loesung: Alice: z = (78-72)/6 = 1.0. Bob: z = (85-80)/4 = 1.25.

Antwort: Bob schnitt relativ besser ab mit z = 1.25 gegenueber Alice z = 1.0.

Beispiel 5: Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Z-Werten

Aufgabe: Welcher Anteil einer Standardnormalverteilung liegt zwischen z = -1.5 und z = 2.0?

Loesung: P(-1.5 < Z < 2.0) = P(Z < 2.0) - P(Z < -1.5) = 0.9772 - 0.0668 = 0.9104.

Antwort: Etwa 91.04% der Werte liegen zwischen z = -1.5 und z = 2.0.

Beispiel 6: Wert am 95. Perzentil

Aufgabe: Koerpergroessen erwachsener Maenner: mu = 175 cm, sigma = 7 cm. Welche Groesse markiert das 95. Perzentil?

Loesung: z = 1.645. x = 175 + 1.645 * 7 = 186.515 cm.

Antwort: Das 95. Perzentil liegt bei etwa 186.5 cm. Nur 5% sind groesser.

Beispiel 7: Zweiseitiger Hypothesentest

Aufgabe: Stichprobenmittel 52.4 bei mu = 50 und sigma = 5 (n = 25). Signifikant auf dem 5%-Niveau?

Loesung: Standardfehler = 5/5 = 1.0. z = (52.4-50)/1.0 = 2.4. Kritisch: +/- 1.96. |2.4| > 1.96.

Antwort: z = 2.4. Das Ergebnis ist auf dem 5%-Niveau statistisch signifikant (p = 0.0164).

Beispiel 8: Finanz: Aktienrendite Z-Wert

Aufgabe: Eine Aktie hat eine durchschnittliche Tagesrendite von 0.05% mit SD 1.2%. Heute fiel sie um 3.5%.

Loesung: z = (-3.5 - 0.05) / 1.2 = -2.958. P(Z < -2.96) = 0.0015.

Antwort: z = -2.96. Ein solcher Rueckgang tritt nur an etwa 0.15% der Handelstage auf.

Beispiel 9: Medizin: Blutdruck Z-Wert

Aufgabe: Systolischer Blutdruck eines Patienten: 150 mmHg. Mittelwert der Altersgruppe: 120 mmHg, SD: 12 mmHg.

Loesung: z = (150-120)/12 = 2.5. P(Z > 2.5) = 0.0062.

Antwort: z = 2.5. Nur etwa 0.62% der Bevoelkerung in dieser Altersgruppe haetten einen so hohen Wert.

Beispiel 10: Negativer Z-Wert: unter dem Durchschnitt

Aufgabe: Ein Schueler erreichte 55 bei einer Pruefung mit Mittelwert 68 und SD 8. Welcher Anteil schnitt besser ab?

Loesung: z = (55-68)/8 = -1.625. P(Z > -1.625) = 0.9479.

Antwort: z = -1.625. Etwa 94.8% der Schueler schnitten besser ab.

Haeufig gestellte Fragen

Was ist ein Z-Wert?
Ein Z-Wert (Standardwert) gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert entfernt ist. Ein Z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert gleich dem Mittelwert ist. Positive Z-Werte liegen ueber, negative unter dem Mittelwert.
Wie berechnet man einen Z-Wert?
Verwenden Sie die Formel z = (x - mu) / sigma. Ziehen Sie den Mittelwert von Ihrem Wert ab und teilen Sie durch die Standardabweichung. Beispiel: Testergebnis 85, Mittelwert 70, SD 10 ergibt z = (85-70)/10 = 1.5.
Was bedeutet ein Z-Wert von 1.96?
Ein Z-Wert von 1.96 bedeutet, dass der Wert 1.96 Standardabweichungen ueber dem Mittelwert liegt. 97.5% der Werte liegen unterhalb von z = 1.96. Dies ist der kritische Wert fuer einen zweiseitigen Test auf dem 5%-Signifikanzniveau und wird bei 95%-Konfidenzintervallen verwendet.
Was ist ein guter Z-Wert?
Es gibt keinen universell guten Z-Wert. Z-Werte zwischen -2 und +2 gelten als typisch (etwa 95% einer Normalverteilung). Bei Pruefungen bedeutet ein positiver Z-Wert ueberdurchschnittlich. In der Qualitaetskontrolle ist ein Z-Wert nahe 0 ideal.
Kann ein Z-Wert negativ sein?
Ja. Ein negativer Z-Wert bedeutet einfach, dass der Datenpunkt unter dem Mittelwert liegt. z = -1.5 zeigt an, dass der Wert 1.5 Standardabweichungen unter dem Mittelwert liegt.
Was ist die 68-95-99.7-Regel?
Die 68-95-99.7-Regel (empirische Regel) besagt, dass in einer Normalverteilung etwa 68% der Daten innerhalb 1 Standardabweichung vom Mittelwert liegen, etwa 95% innerhalb 2 und etwa 99.7% innerhalb 3 Standardabweichungen.
Wie wandelt man einen Z-Wert in ein Perzentil um?
Das Perzentil entspricht der kumulativen Wahrscheinlichkeit P(Z < z) mal 100. Beispiel: z = 1.0 ergibt P(Z < 1.0) = 0.8413, also das 84.13. Perzentil.
Was ist der Unterschied zwischen Z-Wert und t-Wert?
Beide messen die Entfernung vom Mittelwert in Standardabweichungseinheiten. Der Z-Wert verwendet die bekannte Populationsstandardabweichung. Der t-Wert verwendet die Stichprobenstandardabweichung und folgt der t-Verteilung mit schwereren Schwanzen. Bei grossen Stichproben (n > 30) sind beide nahezu identisch.
Wie werden Z-Werte im echten Leben verwendet?
Im Bildungswesen fuer standardisierte Tests (SAT, IQ). Im Gesundheitswesen fuer Wachstumskurven. Im Finanzwesen fuer Value at Risk. In der Fertigung fuer Six-Sigma-Qualitaetskontrolle. In der Forschung fuer Hypothesentests und Konfidenzintervalle.
Welcher Z-Wert ist statistisch signifikant?
Bei einem zweiseitigen Test auf dem 5%-Niveau sind Z-Werte jenseits von +/- 1.96 signifikant. Einseitig auf 5%: z = 1.645. Auf dem 1%-Niveau zweiseitig: +/- 2.576.
Wie liest man eine Z-Wert-Tabelle?
Die Zeilen zeigen den Z-Wert bis zur ersten Dezimalstelle (z.B. 1.9), die Spalten die Hundertstelstelle (z.B. 0.06). Der Schnittpunkt gibt P(Z < 1.96) = 0.9750. Fuer rechte Schwanzwahrscheinlichkeiten ziehen Sie den Tabellenwert von 1 ab.
Welcher Z-Wert gehoert zum 95%-Konfidenzintervall?
Ein 95%-Konfidenzintervall verwendet z = 1.96. 95% der Standardnormalverteilung liegen zwischen z = -1.96 und z = +1.96, mit je 2.5% in jedem Schwanz. Fuer 99%: z = 2.576. Fuer 90%: z = 1.645.