Partielle Ableitung Rechner - Kostenlos Online

Eine partielle Ableitung misst, wie sich eine Funktion mehrerer Variablen aendert, wenn sich eine Variable aendert, waehrend alle anderen Variablen konstant gehalten werden. Wenn f(x, y) eine Funktion zweier Variablen ist, gibt die partielle Ableitung nach x die momentane Aenderungsrate von f in x-Richtung an einem gegebenen Punkt an. Die formale Definition entspricht der gewoehnlichen Ableitung, fixiert aber alle Variablen ausser der zu differenzierenden.

Fuer partielle Ableitungen werden verschiedene Notationen verwendet. Die gaengigste ist die Leibniz-Notation: del f / del x. Die Indexschreibweise notiert dasselbe als f_x oder f_y. Die Operatorschreibweise D_x f wird besonders bei Differentialgleichungen verwendet. Fuer Ableitungen hoeherer Ordnung bezeichnet del^2 f / del x^2 die zweite partielle Ableitung nach x, waehrend del^2 f / (del x del y) eine gemischte partielle Ableitung bezeichnet.

Geometrisch hat eine partielle Ableitung eine anschauliche Interpretation. Fuer eine Funktion f(x, y), die eine Flaeche im dreidimensionalen Raum definiert, gibt die partielle Ableitung del f / del x an einem Punkt (a, b) die Steigung der Tangente an die Kurve an, die durch Schneiden der Flaeche mit der Ebene y = b entsteht. Man fixiert y auf den Wert b und betrachtet, wie die Flaeche steigt oder faellt, wenn sich x aendert.

Der Gradientenvektor, bezeichnet als nabla f oder grad f, fasst alle partiellen Ableitungen in einem Vektor zusammen. Der Gradient zeigt immer in die Richtung des staerksten Anstiegs der Funktion, und sein Betrag entspricht der maximalen Aenderungsrate. Eine Richtungsableitung in jede beliebige Einheitsvektorrichtung u kann als Skalarprodukt des Gradienten mit u berechnet werden. Niveaulinien (Hoehenkurven) von f stehen immer senkrecht zum Gradienten.

Partielle Ableitungen hoeherer Ordnung erhaelt man, indem man eine partielle Ableitung erneut differenziert. Gemischte partielle Ableitungen, wie del^2 f / (del x del y), messen, wie sich die Aenderungsrate in einer Richtung aendert, wenn sich die andere Variable aendert. Nach dem Satz von Schwarz (Clairaut) gilt: Wenn die gemischten partiellen Ableitungen stetig sind, spielt die Reihenfolge der Differentiation keine Rolle. Die Hesse-Matrix sammelt alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung und wird zur Klassifizierung kritischer Punkte verwendet.

Partielle Ableitungen haben weitreichende Anwendungen in Naturwissenschaften, Ingenieurwesen, Wirtschaft und Informatik. In der Physik werden thermodynamische Groessen wie Entropie, Druck und Temperatur durch partielle Ableitungen verknuepft (Maxwell-Relationen). In der Wirtschaft ist die Grenzkosten die partielle Ableitung der Gesamtkosten nach der Menge. Im maschinellen Lernen ist der Gradientenabstieg der primaere Optimierungsalgorithmus: Er berechnet den Gradienten einer Verlustfunktion bezueglich der Modellparameter und aktualisiert diese Parameter in Richtung des staerksten Abstiegs.